Алгоритм построения плоскости, проходящей через данную точку (M), перпендикулярно данной прямой (a) (  

Алгоритм построения плоскости, проходящей через данную точку (M), перпендикулярно данной прямой (a) (

123

1. Через данную точку и данную прямую провести плоскость α( рис. 63 а);

2. В плоскости α через данную точку провести прямую b, перпендикулярную прямой a ( рис.63б).

3. Через данную прямую провести еще одну плоскость β ( рис.63в)

4. В плоскости β через данную точку провести прямую c, перпендикулярную прямой a ( рис.63г).

5. Через две пересекающиеся прямые b и c провести плоскость γ( рис.63д).

γ – искомая плоскость.

Теорема 2 Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.

Существование

Пусть заданы плоскость α и точка M. Покажем существование прямой, проходящей через точку M, перпендикулярной плоскости α ( рис. 64а).

Выберем в плоскости α произвольную прямую a и проведем плоскость β , проходящую через точку M и перпендикулярную прямой a (рис. 64б).

Через точку M в плоскости β проведем прямую с , перпендикулярную линии пересечения плоскостей α и β. Прямая с перпендикулярна плоскости α, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости: прямой с – по построению, а прямой a, так как прямая a перпендикулярна любой прямой плоскости β.

Единственность

Предположим, что существует еще одна прямая n , проходящая через точку M, перпендикулярная плоскости α. Через две пересекающиеся прямые a и n проведем плоскость, которая пересечет данную плоскость α по прямой m.

Прямые a и n лежат в этой плоскости, проходят через одну точку и

перпендикулярна одной прямой m. Получили противоречие с теоремой планиметрии. Доказательство закончено ( рис.64 в).

3.Алгоритм построения прямой, проходящей через данную точку (M), перпендикулярно данной плоскости (α)

1.Выберать в плоскости α произвольную прямую b (рис.65 а);

2. Через данную точку провести плоскость β, ,

перпендикулярную прямой b.

3.Найти линию пересечения плоскостей α и β, прямую с (рис. 10в).

4. В плоскости β через точку M провести прямую, перпендикулярную

линии пересечения c.

Задача 3. Пусть – правильный тетраэдр, точка – центр его основания, точка лежит внутри ребра . Нарисуйте его сечение плоскостью проходящей через точку и перпендикулярной: а) ; б) ; в) ; г) . Какое из них имеет большую площадь (в зависимости от положения точки на ребре)?

Решение

Рассмотрим, какую наибольшую площадь имеет каждое сечение в зависимости от положения точки (рисунок 2.22).

: При движении точки к площадь данного сечения будет увеличиваться и максимальное значение она примет в том случае, когда точка совпадет с точкой . Сечением с максимальной площадью является треугольник .



: Максимальной площадью данного сечения будет тогда, когда точка приблизится к . Такую площадь имеет .

: Максимальную площадь данное сечение будет иметь в том случае, если точка совпадает с точкой , т.е. у треугольника .

: Максимальную площадь из всех сечений тетраэдра, перпендикулярных прямой , имеет , т.е. в том случае, если точка совпадает с точкой .

Сравним теперь площади этих сечений и выберем наибольшую из них, пусть ребро тетраэдра равно .

; .

; .

Рассмотрим, какую сторону должно иметь сечение тетраэдра, перпендикулярное ребру , чтобы его площадь была наибольшей. Мы знаем, что площадь этого сечения будет равна , где – сторона сечения.

Найдем значение , при котором будет совпадать с максимальными площадями остальных сечений, т.е. .

.

Таким образом, сечение будет иметь наибольшую площадь, если его сторона изменяется от до , т.е. .

Литература

1 Александров, А. Д. Стереометрия. Геометрия в пространстве: Учеб. пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В. И. Рыжик. – Висагинас, Alfa.: – 1998. – 576с.

2 Гусев, В.А. Геометрия. Профильный уровень: учебник для 10 класса / В.А. Гусев, Е.Д. Куланин, А.Г. Мякишев, С.Н. Федин. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний. – 2010. – 311с.

3 Карелин, Л.З. Задачи на исследование в школьном курсе геометрии / Л.З. Карелин. – Киевский гос. пед. ин-т им. А. М. Горького. – Киев. – 1968. – 15с.

4 Концепция учебного предмета «Математика»

5 Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. – М.: Просвещение, 1968.

6 Математика 11: учеб. для 11-го кл. общеобразоват. шк. с рус. яз. Обучения c 12-летним сроком обучения (базовый и повышенной уровни) / Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский,– Мн.: Нар. асвета, 2008.

7 Математика 11: учеб. для 11-го кл. общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения c 11-летним сроком обучения / Л.А. Латотин, Б.Д. Чеботаревский,– Мн.: Нар. асвета, 2008.

8 Мирошин, В.В. Всегда ли чертеж – истина? / В.В. Мирошин // Математика в школе.– 2011. – №10.– с. 35-38.

9 Орлова, Л.Э. Маленькие исследования на геометрическом материале / Л.Э. Орлова // Математика в школе.– 1990. – №6.– с. 29-31.

10 Пирютко, О.Н. Динамизация геометрических объектов в школьном курсе математики / О.Н. Пирютко. – Мн.: БГПУ им. М. Танка. – 2001. – 55с.

11 Пирютко, О.Н. Задачи по математике повышенной сложности с решениями / О.Н. Пирютко. – Мн.: Новое знание. – 2011. – 167с.

12 Пирютко, О.Н. От учебной задачи – к учебному исследованию / О.Н. Пирютко // Народная асвета. – 2009. –№11. – С. 27-32.

13 Пирютко, О.Н. Учебное исследование по геометрии / О.Н. Пирютко, И.В. Бощук // Матэматыка: праблевы выкладання. – 2009. –№6.– с. 51-56.


3505694549254712.html
3505716785716794.html
    PR.RU™